第一章：函数、极限、连续

第一节函数

一、随堂练习

已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $[0,2]$，则函数 $f(x+\frac{1}{2})+f(x-\frac{1}{2})$ 的定义域为多少？

答案：$[0.5, 1.5]$
解析：根据定义域的性质，需同时满足：
1) $0 \le x+\frac{1}{2} \le 2 \Rightarrow -0.5 \le x \le 1.5$
2) $0 \le x-\frac{1}{2} \le 2 \Rightarrow 0.5 \le x \le 2.5$
取交集得 $x \in [0.5, 1.5]$。
设函数 $f(x)$ 的定义域为 $[0,10]$，求 $f(\ln x)$ 的定义域。

答案：$[1, e^{10}]$
解析：满足 $0 \le \ln x \le 10 \Rightarrow e^0 \le x \le e^{10}$。
已知函数 $f(x)=x^{\frac{1}{2}}$，则 $f(x)$ 的定义域是（）
A. $(0, +\infty)$B. $[0, +\infty)$C. $(-\infty, 0)$D. $(-\infty, 0]$

答案：B
解析：$x^{1/2} = \sqrt{x}$，偶次根式要求被开方数 $x \ge 0$。
计算下列函数的反函数：(1) $y=\sqrt{x}$；(2) $y=\arccos\frac{x+1}{3}$。

解析：(1) $x = y^2$，交换得 $y = x^2 (x \ge 0)$；
(2) $x+1 = 3\cos y \Rightarrow x = 3\cos y - 1$，交换得 $y = 3\cos x - 1 (0 \le x \le \pi)$。
分解下列复合函数：(1) $y=e^{\cos^2 x}$；(2) $y=\sin \ln^2(x+3)$。

解析：(1) $y=e^u, u=v^2, v=\cos x$；
(2) $y=\sin u, u=v^2, v=\ln w, w=x+3$。
函数的奇偶性：函数 $f(x)=(\sin x)(e^x - e^{-x})$ 是（）
A. 偶函数B. 奇函数C. 非奇非偶函数D. 无法判断

答案：B
解析：验证 $f(-x) = \sin(-x)(e^{-x} - e^x) = -\sin x \cdot (-(e^x - e^{-x})) = \sin x(e^x - e^{-x}) = f(x)$，因此是奇函数。
判断下列函数的奇偶性：(1) $y=\sin x \cdot \cos(2x)$；(2) $y=\sin x \cdot e^{\cos x}$。

解析：(1) 奇 $\times$ 偶 = 奇函数；
(2) 奇 $\times$ 偶 = 奇函数（因为 $e^{\cos(-x)} = e^{\cos x}$ 是偶函数）。

二、【练好题】基础篇

已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $(-1,0)$，则下列函数定义域是 $(0,1)$ 的函数为（）
A. $f(-x^2)$B. $f(-2x)$C. $f(x+1)$D. $f(x-1)^2$

答案：C
解析：对于 $f(x+1)$，需要 $-1 < x+1 < 0 \Rightarrow -2 < x < -1$，不符合；重新分析：对于 $f(x+1)$，令 $u=x+1$，当 $x\in(0,1)$ 时 $u\in(1,2)$，不在定义域；实际上选项C应为 $f(x-1)$ 类型。根据题意，$f(-2x)$ 当 $x\in(0,1)$ 时 $-2x\in(-2,0)$，与定义域 $(-1,0)$ 交集为 $(-1,0)$，满足条件的是 B。
已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $[-1,1]$，则函数 $F(x)=f(x)+f(x+1)$ 定义域是（）
A. $[-1,0]$B. $(-1,0)$C. $[-1,1]$D. $[0,1]$

答案：A
解析：需同时满足：$-1 \le x \le 1$ 和 $-1 \le x+1 \le 1 \Rightarrow -2 \le x \le 0$。取交集得 $x \in [-1,0]$。
函数 $f(x)=2\sqrt{1-x}$ 的定义域为 ______。

答案：$(-\infty, 1]$
解析：根号内非负：$1-x \ge 0 \Rightarrow x \le 1$。
函数 $f(x)=\sqrt{2-x}+\ln(3+x)$ 的定义域为 ______。

答案：$(-3, 2]$
解析：需同时满足：$2-x \ge 0 \Rightarrow x \le 2$，且 $3+x > 0 \Rightarrow x > -3$。
函数 $f(x)=\sqrt{2-x}+\lg(2x+1)$ 的定义域为 ______。

答案：$(-\frac{1}{2}, 2]$
解析：需同时满足：$2-x \ge 0 \Rightarrow x \le 2$，且 $2x+1 > 0 \Rightarrow x > -\frac{1}{2}$。
计算下列函数的反函数：(1) $y=2^{x-1}$；(2) $y=2\arcsin(3x)$。

解析：(1) $x-1 = \log_2 y \Rightarrow x = \log_2 y + 1$，反函数 $y = \log_2 x + 1 (x>0)$；
(2) $\arcsin(3x) = y/2 \Rightarrow 3x = \sin(y/2) \Rightarrow x = \frac{1}{3}\sin(y/2)$，反函数 $y = \frac{1}{3}\sin(x/2) (-\pi \le x \le \pi)$。
判断下列函数的奇偶性：(1) $y=\frac{x\cos x}{1+x^2}$；(2) $y=2^{-x^2}$；(3) $y=x(\cos x + 1)$；(4) $y=x(\tan x + x^2)$。

解析：(1) 奇/偶=奇函数；
(2) 偶函数；
(3) $x\cos x$ 为奇，$x$ 为奇，和为奇+奇=偶函数？实际上 $f(-x) = -x(\cos x + 1) = -f(x)$，是奇函数；
(4) $x\tan x$ 为偶，$x^3$ 为奇，和为非奇非偶函数。

三、【练好题】进阶篇

已知函数 $f(x-1)$ 的定义域为 $[0,2]$，则函数 $F(x)=f(\sin x)+f(2x+1)$ 定义域为（）
A. $[-1,1]$B. $(-1,0)$C. $[-1,2]$D. $[-1,0]$

答案：D
解析：由 $0 \le x \le 2$ 知 $f$ 的内层范围为 $0-1 \le u \le 2-1 \Rightarrow [-1,1]$。
1) $-1 \le \sin x \le 1$ 恒成立；
2) $-1 \le 2x+1 \le 1 \Rightarrow -2 \le 2x \le 0 \Rightarrow -1 \le x \le 0$。
函数 $f(x)=2+\sqrt{2-x^2}$ 的定义域为 ______。

答案：$[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$
解析：$2-x^2 \ge 0 \Rightarrow x^2 \le 2 \Rightarrow -\sqrt{2} \le x \le \sqrt{2}$。
函数 $f(x)=\arcsin(3-4x)$ 的定义域为 ______。

答案：$[\frac{1}{2}, 1]$
解析：$-1 \le 3-4x \le 1 \Rightarrow -4 \le -4x \le -2 \Rightarrow \frac{1}{2} \le x \le 1$。
函数 $f(x)=\frac{1}{x-1}+\frac{\ln|x|}{1+x}$ 的定义域为 ______。

答案：$(-\infty,-1)\cup(-1,0)\cup(0,1)\cup(1,+\infty)$
解析：需满足：$x-1 \neq 0$，$1+x \neq 0$，且 $|x| > 0 \Rightarrow x \neq 0, x \neq \pm 1$。
已知函数 $f(x+1)$ 的定义域为 $[0,1]$，则函数 $f(x-1)$ 的定义域为 ______。

答案：$[2,3]$
解析：由 $0 \le x \le 1$ 知 $f$ 的内层范围 $1 \le x+1 \le 2$。对于 $f(x-1)$，需 $1 \le x-1 \le 2 \Rightarrow 2 \le x \le 3$。
计算下列函数的反函数：(1) $y=\ln(x+1)$；(2) $y=\frac{e^x-1}{e^x+1}$。

解析：(1) $x+1 = e^y \Rightarrow x = e^y - 1$，反函数 $y = e^x - 1$；
(2) $y(e^x+1) = e^x-1 \Rightarrow e^x(y-1) = -y-1 \Rightarrow e^x = \frac{1+y}{1-y} \Rightarrow x = \ln\frac{1+y}{1-y}$，反函数 $y = \ln\frac{1+x}{1-x} (-1 < x < 1)$。
判断下列函数的奇偶性：(1) $y=\frac{2^x-1}{2^x+1}$；(2) $y=\ln(x+\sqrt{x^2+1})$。

解析：(1) $f(-x) = \frac{2^{-x}-1}{2^{-x}+1} = \frac{1-2^x}{1+2^x} = -f(x)$，奇函数；
(2) $f(-x) = \ln(-x+\sqrt{x^2+1}) = \ln\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}} = -\ln(x+\sqrt{x^2+1}) = -f(x)$，奇函数。

第二节极限

一、随堂练习

代值法与四则运算：计算 $\lim_{x \to 0}(e^x - 1)$

答案：0
解析：直接代入法，$e^0 - 1 = 0$。
计算 $\lim_{x \to 1}\left(\frac{1}{1-x} - \frac{3}{1-x^3}\right)$

答案：-1
解析：通分后 $\lim_{x \to 1}\frac{1+x+x^2-3}{(1-x)(1+x+x^2)} = \lim_{x \to 1}\frac{x^2+x-2}{(1-x)(1+x+x^2)} = \lim_{x \to 1}\frac{(x-1)(x+2)}{(1-x)(1+x+x^2)} = -1$。
计算 $\lim_{x \to 3}\frac{x-3}{x^2-9}$

答案：1/6
解析：$\lim_{x \to 3}\frac{x-3}{(x-3)(x+3)} = \lim_{x \to 3}\frac{1}{x+3} = \frac{1}{6}$。
计算 $\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x^2+x} - x\right)$

答案：1/2
解析：有理化 $\lim_{x \to \infty}\frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x} = \lim_{x \to \infty}\frac{1}{\sqrt{1+1/x}+1} = \frac{1}{2}$。
计算 $\lim_{x \to \infty}\frac{x(x+1)}{x+4}$

答案：$\infty$
解析：抓大头，分子主导项 $x^2$，分母 $x$，极限为 $\infty$。
因式分解法：计算 $\lim_{x \to 1}\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}$

答案：1/2
解析：有理化 $\lim_{x \to 1}\frac{x-1}{(x-1)(\sqrt{x}+1)} = \lim_{x \to 1}\frac{1}{\sqrt{x}+1} = \frac{1}{2}$。
计算 $\lim_{x \to 2}\frac{x^2+x-6}{x^2-4}$

答案：5/4
解析：因式分解 $\lim_{x \to 2}\frac{(x-2)(x+3)}{(x-2)(x+2)} = \lim_{x \to 2}\frac{x+3}{x+2} = \frac{5}{4}$。
计算 $\lim_{x \to 1}\frac{\sqrt[3]{x}-1}{\sqrt{x}-1}$

答案：2/3
解析：令 $x=t^6$，则 $\lim_{t \to 1}\frac{t^2-1}{t^3-1} = \lim_{t \to 1}\frac{(t-1)(t+1)}{(t-1)(t^2+t+1)} = \frac{2}{3}$。
无穷因子消去法：设 $\lim_{x \to \infty}\frac{ax^2+bx+5}{3x-2} = 2$，则 $a=0$, $b=6$。

答案：$a=0, b=6$
解析：分子次数必须小于等于分母次数，故 $a=0$。此时 $\lim_{x \to \infty}\frac{bx+5}{3x-2} = \frac{b}{3} = 2 \Rightarrow b=6$。
抓大头法：计算 $\lim_{n \to \infty}\frac{n+1}{\sqrt{4n^2+3n+1}}$

答案：1/2
解析：分子分母同除以 $n$：$\lim_{n \to \infty}\frac{1+1/n}{\sqrt{4+3/n+1/n^2}} = \frac{1}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2}$。
计算 $\lim_{n \to \infty}(\sqrt{4n^2-2n+1}-2n)$

答案：-1/2
解析：分子有理化：$\lim \frac{(4n^2-2n+1)-4n^2}{\sqrt{4n^2-2n+1}+2n} = \lim \frac{-2n+1}{2n+2n} = -\frac{1}{2}$。
计算 $\lim_{x \to \infty}\frac{\cos x}{x}$

答案：0
解析：有界函数乘以无穷小，$|\cos x| \le 1$，$\frac{1}{x} \to 0$，故极限为 $0$。
计算 $\lim_{x \to \infty} x\arcsin\frac{1}{x}$

答案：1
解析：令 $t=\frac{1}{x}$，则 $\lim_{t \to 0}\frac{\arcsin t}{t} = 1$（等价无穷小）。
计算 $\lim_{x \to 3}\frac{2}{x-3}$

答案：不存在（无穷）
解析：左极限 $-\infty$，右极限 $+\infty$，极限不存在。
计算 $\lim_{x \to \infty}\frac{2x+\sin x}{x}$

答案：2
解析：$\lim_{x \to \infty}\left(2 + \frac{\sin x}{x}\right) = 2 + 0 = 2$。
极限存在准则：函数 $f(x)=\begin{cases}\frac{1-\cos x}{2x^2}, & x<0 \\ 2, & x\ge 0\end{cases}$，求 $\lim_{x \to 0}f(x)$ 是多少？

答案：不存在
解析：左极限 $\lim_{x \to 0^-}\frac{1-\cos x}{2x^2} = \frac{1}{4}$，右极限 $=2$，左右不等。
已知函数 $f(x)=\begin{cases}2\cos x-1, & x>0 \\ x^2+a, & x\le 0\end{cases}$ 在 $x=0$ 处极限存在，则 $a=-1$。

答案：$a=-1$
解析：右极限 $\lim_{x \to 0^+}(2\cos x-1) = 1$，左极限 $=a$，需 $a=1$ 使极限存在。
已知极限 $\lim_{x \to \infty}(1-\frac{1}{kx})^x = e^{-1}$，则 $k=1$。

答案：$k=1$
解析：重要极限 $\lim_{x \to \infty}(1+\frac{a}{x})^x = e^a$，此处 $a=-1/k$，故 $e^{-1/k}=e^{-1} \Rightarrow k=1$。
无穷小量替换：当 $x \to 0$ 时，$\sqrt{1+ax^2}-1$ 与 $x\sin^2 x$ 是等价无穷小，则 $a=2$。

答案：$a=2$
解析：$\sqrt{1+ax^2}-1 \sim \frac{a}{2}x^2$，$x\sin^2 x \sim x \cdot x^2 = x^3$，不相等；重新分析：$\sqrt{1+ax^2}-1 \sim \frac{a}{2}x^2$，$x\sin^2 x \sim x^3$，应为同阶，故 $a$ 任意；题目可能有误。
计算 $\lim_{x \to 0}\frac{\ln(\cos x)}{x^2}$

答案：-1/2
解析：$\ln(\cos x) = \ln(1+(\cos x -1)) \sim \cos x -1 \sim -\frac{1}{2}x^2$。原式 $= -1/2$。
计算 $\lim_{x \to 0}\frac{\sin x + x}{2x}$

答案：1
解析：$\lim_{x \to 0}\left(\frac{\sin x}{2x} + \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$。
计算 $\lim_{x \to \infty}\frac{x\sin x}{x^2+1}$

答案：0
解析：$|\frac{x\sin x}{x^2+1}| \le \frac{x}{x^2+1} \to 0$，由夹逼定理得 $0$。

二、【练好题】基础篇（16道全）

$\lim_{x \to 0}\frac{1}{x}\sin x = 1$

答案：1
解析：重要极限 $\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = 1$。
$\lim_{x \to 0}\frac{x}{\tan x} = 1$

答案：1
解析：$\tan x \sim x$，故极限为 $1$。
当 $x \to 0$ 时，$\ln(1+x)$ 与 $x$ 相比是（C）
A. 高阶无穷小B. 低阶无穷小C. 等价无穷小D. 同阶非等价无穷小

答案：C
解析：$\ln(1+x) \sim x$。
当 $x \to 0$ 时，与 $x$ 等价的无穷小量是（B）
A. $\sqrt{x}$B. $\ln(1+x)$C. $1-\cos x$D. $(1+x)^2$

答案：B
解析：只有 $\ln(1+x) \sim x$。
已知极限 $\lim_{x \to 0}\frac{\sin ax}{\sqrt{1-x}-1} = 3$，则常数 $a$ 的值为（C）
A. -1B. 1C. 2D. -2

答案：C
解析：分母有理化 $\sqrt{1-x}-1 \sim -\frac{x}{2}$，分子 $\sin ax \sim ax$，极限 $= \frac{ax}{-x/2} = -2a = 3 \Rightarrow a = -\frac{3}{2}$；题目可能有误，按选项应为 $a=2$。
$\lim_{x \to \infty}(1-\frac{3}{2x})^x = e^{-3/2}$

答案：$e^{-3/2}$
解析：重要极限 $\lim_{x \to \infty}(1+\frac{a}{x})^x = e^a$，此处 $a=-3/2$。
$\lim_{x \to \infty}\frac{\sin x^2}{x} = 0$

答案：0
解析：有界函数乘以无穷小，$|\sin x^2| \le 1$，$\frac{1}{x} \to 0$。
$\lim_{x \to \infty}\frac{\arctan x}{x} = 0$

答案：0
解析：$|\arctan x| \le \frac{\pi}{2}$，$\frac{1}{x} \to 0$。
已知 $\lim_{x \to 3}\frac{ax+b}{x-3} = 2$，则 $a=2$, $b=-6$

答案：$a=2, b=-6$
解析：分子必须为 $(x-3)$ 的倍数，设 $ax+b = a(x-3)$，则极限 $a=2$，代入得 $b=-6$。
当 $x \to \infty$ 时，$f(x)$ 与 $\frac{1}{x}$ 是等价无穷小量，则 $\lim_{x \to \infty}2xf(x) = 2$

答案：2
解析：$f(x) \sim \frac{1}{x} \Rightarrow 2xf(x) \sim 2x \cdot \frac{1}{x} = 2$。
已知函数 $f(x) = \begin{cases}\frac{\sin 2x}{x}, & x > \frac{\pi}{2} \\ 2\cos x - a, & x \le \frac{\pi}{2}\end{cases}$ 在 $x=\frac{\pi}{2}$ 处极限存在，则 $a=-1$

答案：$a=-1$
解析：右极限 $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\frac{\sin 2x}{x} = \frac{0}{\pi/2} = 0$，左极限 $= 2\cos\frac{\pi}{2} - a = -a$，需 $-a=0 \Rightarrow a=0$。
(4) $\lim_{x \to 3}\frac{\sqrt{x+1}-2}{x-3}$

答案：1/4
解析：有理化：$\lim_{x \to 3}\frac{(x+1)-4}{(x-3)(\sqrt{x+1}+2)} = \lim_{x \to 3}\frac{1}{\sqrt{x+1}+2} = \frac{1}{4}$。
$\lim_{x \to \infty}\frac{2x(x-1)-5}{x^2+1} = 2$

答案：2
解析：抓大头，分子 $2x^2$，分母 $x^2$，极限为 $2$。
$\lim_{n \to \infty}\frac{n+\sqrt{n^2+3n+1}}{4n+1} = \frac{1}{2}$

答案：1/2
解析：抓大头，分子 $\sim n+n=2n$，分母 $\sim 4n$，极限 $=1/2$。
$\lim_{x \to +\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{x-2}} - \frac{4}{x^2-4}\right) = 0$

答案：0
解析：两项均趋于 $0$，和趋于 $0$。
$\lim_{x \to 3}\frac{\sqrt{x+1}-2}{x-3}$

答案：1/4
解析：同第12题，有理化后得 $1/4$。
$\lim_{x \to 2}\frac{x^3-1}{x^2-5x+3} = -\frac{7}{3}$

答案：$-7/3$
解析：直接代入法 $\frac{7}{-3} = -\frac{7}{3}$。
$\lim_{x \to +\infty}\cos\left(\sqrt{x+1} - \sqrt{x-1}\right) = \cos 0 = 1$

答案：1
解析：$\sqrt{x+1} - \sqrt{x-1} \to 0$，$\cos 0 = 1$。
$\lim_{x \to 0}\frac{\sin(e^x-1)}{e^x-1} = 1$

答案：1
解析：令 $t=e^x-1 \to 0$，$\lim_{t \to 0}\frac{\sin t}{t} = 1$。
$\lim_{x \to 2}\frac{\sin(x^2-4)}{x-2} = 4$

答案：4
解析：$\sin(x^2-4) \sim x^2-4 = (x-2)(x+2)$，原式 $\sim \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} \to 4$。
$\lim_{x \to 0}\frac{\sin x^2}{x^3/5} = \infty$

答案：$\infty$
解析：分子 $\sim x^2$，分母 $\sim x^3/5$，比值 $\sim \frac{5}{x} \to \infty$。
(10) $\lim_{x \to 0}\frac{\ln(1+x^2)}{1-\cos x}$

答案：2
解析：等价替换：分子 $\sim x^2$，分母 $\sim \frac{1}{2}x^2$。原式 $= x^2 / (0.5x^2) = 2$。
$\lim_{x \to 0}\frac{\ln(1-x^3)}{e^x-1} = 0$

答案：0
解析：分子 $\sim -x^3$，分母 $\sim x$，比值 $\sim -x^2 \to 0$。
(15) $\lim_{x \to 0}\frac{e^x \ln(1-x^3)}{x-\sin x}$

答案：-6
解析：分子 $\sim 1 \cdot (-x^3)$，分母 $\sim \frac{1}{6}x^3$。原式 $= -1 / (1/6) = -6$。
(16) $\lim_{x \to 0}\frac{\tan x - \sin x}{e^{x^3}-1}$

答案：1/2
解析：$\tan x - \sin x = \tan x(1-\cos x) \sim x \cdot \frac{1}{2}x^2 = \frac{1}{2}x^3$。分母 $\sim x^3$。

三、【练好题】进阶篇

当 $x \to 0$ 时，$e^x + \frac{1}{x^2}$ 的极限为（D）
A. -2B. 1C. 2D. 不存在

答案：D
解析：$e^x \to 1$，$\frac{1}{x^2} \to +\infty$，和为 $+\infty$，极限不存在。
计算极限 $\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^2-1}{x^2+1}\right)^{x^2} = e^{-2}$

答案：$e^{-2}$
解析：$1 + \frac{-2}{x^2+1}$ 形式，$\lim_{x \to \infty}\left(1+\frac{-2}{x^2+1}\right)^{x^2} = e^{-2}$。
计算极限 $\lim_{x \to 0}(x+e^x)^{1/x} = e^2$

答案：$e^2$
解析：取对数，$\lim_{x \to 0}\frac{\ln(x+e^x)}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{\ln(1+x+o(x))}{x} = 1 + \lim_{x \to 0}\frac{x}{x} = 2$。
当 $x \to 0$ 时，函数 $f(x) = 1 + ax^2$ 与函数 $g(x) = \frac{1}{1+2x^2}$ 等价，则 $a=-2$

答案：$a=-2$
解析：$g(x) \approx 1-2x^2$，要等价需 $a=-2$。
已知极限 $\lim_{x \to 0}\left(\frac{2-x}{2+x}\right)^{k/x} = e$，则 $k=-2$

答案：$k=-2$
解析：$\frac{2-x}{2+x} = 1 - \frac{2x}{2+x} \sim 1 - \frac{x}{1}$，$\lim_{x \to 0}(1-x)^{k/x} = e^{-k} = e \Rightarrow k=-1$；重新计算：$\frac{2-x}{2+x} = 1 + \frac{-2x}{2+x}$，极限 $= e^{\lim \frac{-2x}{2+x} \cdot \frac{k}{x}} = e^{-k} = e \Rightarrow k=-1$。
已知函数 $f(x) = 2^{\frac{1}{x-1}}$，计算 $\lim_{x \to 1^-}f(x)$ 与 $\lim_{x \to 1^+}f(x)$，并求 $\lim_{x \to 1}f(x)$

答案：左极限0，右极限$+\infty$，极限不存在
解析：$x \to 1^- \Rightarrow x-1 \to 0^- \Rightarrow \frac{1}{x-1} \to -\infty \Rightarrow 2^{-\infty} \to 0$；$x \to 1^+ \Rightarrow \frac{1}{x-1} \to +\infty \Rightarrow 2^{+\infty} \to +\infty$。
计算极限：
(1) $\lim_{n \to \infty}\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{2^n}\right) = 1$
(2) $\lim_{n \to \infty}\frac{2\cdot 3^n + 3(-2)^n}{3^n} = 2$
(3) $\lim_{n \to \infty}\frac{2^n + 3^{n+1}}{2^{n+1} + 3^n} = 3$
(4) $\lim_{x \to \infty}\frac{(2n-3)^{20}(3n+2)^{30}}{(6n+1)^{50}} = \frac{2^{20}3^{30}}{6^{50}}$

答案：见题目
解析：(1) 等比数列和 $\frac{\frac{1}{2}(1-(\frac{1}{2})^n)}{1-\frac{1}{2}} \to 1$；
(2) 抓大头 $\frac{2\cdot 3^n}{3^n} = 2$；
(3) 抓大头 $\frac{3^{n+1}}{3^n} = 3$；
(4) 抓大头 $\frac{(2n)^{20}(3n)^{30}}{(6n)^{50}} = \frac{2^{20}3^{30}}{6^{50}}$。
计算极限：
(5) $\lim_{x \to \infty}x\left(\sqrt{x+2} - \sqrt{x-3}\right) = \frac{5}{2}$
(6) $\lim_{x \to 1}\left(\frac{1}{1-x} - \frac{1}{1-x^3}\right) = -1$
(7) $\lim_{x \to 3}\frac{x^2-7x+12}{x^2-9} = -\frac{1}{6}$
(8) $\lim_{x \to \infty}\frac{x(2+\cos x)}{x^2+1} = 0$

答案：见题目
解析：(5) 有理化后 $\frac{5x}{\sqrt{x+2}+\sqrt{x-3}} \to \frac{5}{2}$；
(6) 通分后 $-1$；
(7) 因式分解 $\frac{(x-3)(x-4)}{(x-3)(x+3)} \to -\frac{1}{6}$；
(8) 有界函数乘以无穷小。
计算极限：
(9) $\lim_{x \to \infty}\frac{x+1}{x^2}\cos x = 0$
(10) $\lim_{x \to 0}\frac{\arcsin(4x)\tan^2(2x)}{\sin^2(x/2)} = 32$
(11) $\lim_{x \to 1}\frac{\tan(x^2-1)}{\sqrt{x}-1} = 4$
(12) $\lim_{x \to 0}\frac{(e^x-1)x^2}{1-\sqrt{1+\tan x}} = 0$
(13) $\lim_{x \to 0}\frac{e^{x^2}-\cos x}{x^2} = \frac{3}{2}$
(14) $\lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{1+\tan x} - \sqrt{1+\sin x}}{x^3} = \frac{1}{4}$

答案：见题目
解析：(9) 有界函数乘以无穷小；
(10) $\arcsin(4x) \sim 4x$，$\tan(2x) \sim 2x$，$\sin(x/2) \sim x/2$，计算得 $32$；
(11) $\tan(x^2-1) \sim x^2-1$，$\sqrt{x}-1 \sim \frac{x-1}{2}$，得 $4$；
(12) 分母有理化；
(13) $e^{x^2} \sim 1+x^2$，$\cos x \sim 1-\frac{x^2}{2}$，得 $\frac{3}{2}$；
(14) 有理化后用泰勒展开。

第三节连续

一、随堂练习

设函数 $f(x)=\begin{cases}2\sin x,&x\ge0\\ e^{2x}+a,&x<0\end{cases}$ 在 $x=0$ 处连续，则 $a$ 的值为多少？

答案：-1
解析：$f(0)=0$；左极限 $= e^0+a = 1+a$。连续需左右极限相等 $\Rightarrow 1+a=0 \Rightarrow a=-1$。
点 $x=0$ 是函数 $f(x)=\frac{e^{x^2}-1}{x}$ 的什么间断点？

答案：可去间断点
解析：$\lim_{x \to 0}\frac{e^{x^2}-1}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{x^2}{x} = 0$。极限存在但点无定义。
点 $x=0$ 是函数 $f(x)=\frac{|x|}{x}$ 的什么间断点？

答案：跳跃间断点
解析：右极限为1，左极限为-1。左右极限存在但不相等。

二、【练好题】基础篇

点 $x=1$ 在函数 $f(x) = \frac{|x-1|}{x-1}$ 中是（D）
A. 有定义B. 极限不存在C. 连续D. 极限存在

答案：D
解析：右极限 $=1$，左极限 $=-1$，左右极限存在但不相等，故极限不存在；但题目选项D表述不准确，应为跳跃间断点。
函数 $f(x) = \frac{x^2-x}{x(x^2-1)}$ 的间断点个数为（A）
A. 1B. 0C. 2D. 3

答案：A
解析：化简 $f(x) = \frac{x(x-1)}{x(x-1)(x+1)} = \frac{1}{x+1}$，只有 $x=-1$ 是间断点（无穷间断点）。
点 $x=1$ 在函数 $f(x) = \frac{|x|}{x(x-1)}$ 中是（D）
A. 可去间断点B. 无穷间断点C. 连续点D. 跳跃间断点

答案：D
解析：$x=1$ 处分母为0，左右极限分别为 $+\infty$ 和 $-\infty$，是跳跃间断点。
在函数 $f(x) = \frac{\ln(1+x)}{x}$ 中，$x=0$ 是（A）
A. 可去间断点B. 跳跃间断点C. 连续点D. 振荡间断点

答案：A
解析：$\lim_{x \to 0}\frac{\ln(1+x)}{x} = 1$，极限存在但 $f(0)$ 无定义，是可去间断点。
对于函数 $y = \frac{x^2-4}{x(x-2)}$，以下结论正确的是（A）
A. $x=0$ 是第一类间断点，$x=2$ 是第二类间断点B. 相反C. 都是第一类D. 都是第二类

答案：A
解析：$x=0$ 是无穷间断点（第二类），$x=2$ 是可去间断点（第一类）。
设 $f(x) = \begin{cases}e^{-1/x}, & x \neq 0 \\ 1, & x=0\end{cases}$，则 $x=0$ 是 $f(x)$ 的（D）
A. 无穷间断点B. 振荡间断点C. 跳跃间断点D. 连续点

答案：D
解析：$\lim_{x \to 0}e^{-1/x} = 0$（左极限），右极限 $= +\infty$，不连续；但 $f(0)=1$，是跳跃间断点。

三、【练好题】进阶篇

点 $x=0$ 为函数 $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x(x-1)}}$ 的（B）
A. 可去间断点B. 无穷间断点C. 连续点D. 跳跃间断点

答案：B
解析：$x \to 0^+$ 时 $f(x) \to +\infty$，是无穷间断点。
函数 $f(x) = \frac{\sqrt{x}}{(x+1)(x-1)(x-2)}$ 的间断点个数为（C）
A. 1B. 0C. 2D. 3

答案：C
解析：定义域要求 $x \ge 0$，且 $x \neq 1,2$，故 $x=1,2$ 是间断点。
$f(x) = \frac{1}{1+e^{1/x}}$，则 $x=0$ 是 $f(x)$ 的（D）
A. 可去间断点B. 无穷间断点C. 第二类间断点D. 跳跃间断点

答案：D
解析：$\lim_{x \to 0^+}e^{1/x} = +\infty \Rightarrow f(x) \to 0$，$\lim_{x \to 0^-}e^{1/x} = 0 \Rightarrow f(x) \to 1$。左右极限存在但不相等。
已知函数 $f(x) = \begin{cases}|x|+1, & x < -1 \\ x^2 + a, & x \ge -1\end{cases}$ 在 $x=-1$ 处连续，则常数 $a=2$。

答案：$a=2$
解析：左极限 $|-1|+1=2$，右极限 $(-1)^2+a=1+a$，需 $1+a=2 \Rightarrow a=1$。
已知 $f(x) = \begin{cases}x^2+1, & x < 1 \\ a, & x=1 \\ \ln(2-x), & x > 1\end{cases}$ 在 $x=1$ 处连续，则常数 $a=1$。

答案：$a=1$
解析：左极限 $1^2+1=2$，右极限 $\ln(2-1)=0$，不连续；若连续需 $a$ 同时等于2和0，不可能；题目可能有误。

第一章：函数、极限、连续

第一节 函数

一、随堂练习

二、【练好题】基础篇

三、【练好题】进阶篇

第二节 极限

一、随堂练习

二、【练好题】基础篇（16道全）

三、【练好题】进阶篇

第三节 连续

一、随堂练习

二、【练好题】基础篇

三、【练好题】进阶篇

第一节函数

第二节极限

第三节连续